Amérique du Nord, mai 2024

Soit \(a\) un réel strictement positif.
On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0~; +\infty[\) par \(f(x) = a\ln(x)\) .
On note \(\mathscr C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit \(x_0\) un réel strictement supérieur à \(1\) .

1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe \(\mathscr C\) et de l'axe des abscisses.

2. Vérifier que la fonction \(F\) définie par \(F(x) = a[x \ln(x) - x]\) est une primitive de la fonction  \(f\) sur l'intervalle \(]0~; +\infty[\) .

3. En déduire l'aire du domaine grisé en fonction de  \(a\) et de \(x_0\) .

On note \(T\) la tangente à la courbe \(\mathscr C\) au point \(\text M\) d'abscisse \(x_0\) .

On appelle  \(\text A\) le point d'intersection de la tangente \(T\) avec l'axe des ordonnées et \(\text B\) le projeté orthogonal de  \(\text M\) sur l'axe des ordonnées.

4. Démontrer que la longueur \(\text{AB}\) est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de \(x_0\) ) que l'on déterminera.

Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.